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线性代数的本质??学*笔记3:6-8章

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章节名
6. 逆矩阵、列空间与零空间、秩7. 点积与对偶性8. 叉积


原视频:【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集


本文是3B1B系列视频《线性代数的本质》的学*笔记第一部分??涵盖6、7、8章内容




6. 逆矩阵、列空间与零空间、秩
    线性方程组
    系数矩阵A
    逆矩阵
    如果变换没有将空间降维,那么v总是有一个x能与之对应。计算方法是使




    A



    x






    =



    v







    Aoverrightarrow{x}=overrightarrow{v}


    Ax
    =v
    此式左乘





    A



    ?


    1





    A^{-1}


    A?1
    直觉理解:用一个逆变换(逆矩阵)复原变换






    A



    ?


    1




    A


    =


    I



    A^{-1}A=I


    A?1A=I?是一个恒等变换(什么都不做)





    d


    e


    t


    (


    a


    )





    0


    ?



    A



    ?


    1





    det(a)
    eq0Rightarrow A^{-1}


    det(a)??=0?A?1存在




    d


    e


    t


    (


    a


    )


    =


    0


    ?



    det(a)=0Rightarrow


    det(a)=0?在经过这个变换压缩后,没法通过线性变换升维(用一个逆矩阵复原),也就是不存在





    A



    ?


    1





    A^{-1}


    A?1(如果





    v







    overrightarrow{v}


    v
    在这个低维空间上,方程组就有解,不在就无解)有些行列式为0的矩阵变换将空间压缩得更狠(有些压成线,更狠的压成点)
    :衡量压缩程度
      变换后空间的维数(压缩程度)列空间的维数
    A的列空间
      所有可能的输出向量




      A



      v







      Aoverrightarrow{v}


      Av
      构成的集合矩阵的列所张成的空间零向量一定会被包含在列空间中它可以告诉我们什么时候存在解
    满秩矩阵的零空间:在变换后落在原点的向量集合原视频未提到计算方面内容,建议搜索相应关键词学*:高斯消元法、行阶梯型附注2:非方阵:可看作是输入输出维数不同的线性变换
    和方阵的一样,每列向量是基向量变换后的坐标

7. 点积与对偶性
    点积
      观点1:向量对应位元素相乘,对其求和观点2:长度×正交投影长度
      如果两个向量垂直,点积:0
      点积与顺序无关的直觉解释:如果两个向量等长,那么按照对称性,两个投影应该也一样长,两个投影-长度乘积互为镜像;如果两个向量不等长,可以将其想象为两个等长向量中的一个按比例伸缩,对面投影到这个上面的长度又不变,这个投影到对面的长度按比例伸缩,所以最后乘起来还是一样的
    对偶性:两种数学事物之间自然而又出乎意料的对应关系
    解释点积两种观点的统一性(类似于6的附注2)
    多维空间到一维空间(数轴)的线性变换
    一个长这样的一维横向量:[ . . ]→矩阵向量乘法(点积)
    (1个从向量到数的映射)将二维向量投影到一条线上的函数:一个线性变换
    是点积的观点2
    这个线性变换的矩阵是该线上的单位向量





    v







    overrightarrow{v}


    v
    的x,y坐标构成的(1,2)矩阵(证明方式:对称性)
    (所以对单位向量来说,很显然其点积的观点1、2是一致的)(而非单位向量,和1中2的直觉理解逻辑一样,对其进行对应的缩放就行)
    也就是点积的观点1
    应用这个变换=和这个





    v







    overrightarrow{v}


    v
    做点积

8. 叉积






    v






    ×



    w






    =








    *







































    overrightarrow{v} imesoverrightarrow{w}=向量*行四边形的面积(行列式)


    v
    ×w
    =向量*行四边形的面积(行列式)
    方向:符合基向量方向的叉积结果(指顺





    i


    ^



    ×



    j


    ^




    widehat{i} imeswidehat{j}


    i
    ×j
    ?的方向)为正
    右手法则,指向纸外的方向为正
    注意:将向量写成矩阵的行和写成矩阵的列,都是一样的,因为转置不影响行列式的值
    一个矩阵(变换)的行列式,变换后面积扭曲的程度真正的叉积:一个新向量,垂直于向量*行四边形
    长度是其值
    方向判定:右手法则(食指





    v







    overrightarrow{v}


    v
    ,中指





    w







    overrightarrow{w}


    w
    )(对我来说是直接抱圆了,一样的)









    [







    v


    1










    v


    2










    v


    3







    ]



    ×



    [







    ω


    1










    ω


    2










    ω


    3







    ]










    =


    det


    ?



    (



    [







    i


    ^








    v


    1








    ω


    1










    j


    ^








    v


    2








    ω


    2










    k


    ^








    v


    2








    ω


    3







    ]



    )

















    =



    i


    ^




    (



    v


    2




    ω


    3



    ?



    v


    3




    ω


    2



    )



    +



    j


    ^




    (



    v


    3




    ω


    1



    ?



    v


    1




    ω


    3



    )



    +



    k


    ^




    (



    v


    1




    ω


    2



    ?



    v


    2




    ω


    1



    )








    egin{aligned} egin{bmatrix} v_{1} \ v_{2} \ v_{3} end{bmatrix} imesegin{bmatrix} omega _{1} \ omega _{2} \ omega _{3} end{bmatrix} &=det left( egin{bmatrix} widehat{i} & v_{1} & omega_{1} \ widehat{j} & v_{2} & omega_{2} \ widehat{k} & v_{2} & omega_{3} end{bmatrix} ight) \ &=widehat{i}left( v_{2}omega_{3}-v_{3}omega_{2} ight) + widehat{j}left( v_{3}omega_{1}-v_{1}omega_{3} ight) + widehat{k}left( v_{1}omega_{2}-v_{2}omega_{1} ight) end{aligned}


    ???v1?v2?v3?????×???ω1?ω2?ω3??????=det??????i
    j
    ?k
    ?v1?v2?v2??ω1?ω2?ω3????????=i
    (v2?ω3??v3?ω2?)+j
    ?(v3?ω1??v1?ω3?)+k
    (v1?ω2??v2?ω1?)?以线性变换的眼光看叉积:
    对偶性:一个(从空间)到数轴的线性变换(变换矩阵为[ . . ])








    ightarrow


    →这个变换的对偶向量




    [






    .








    .








    .






    ]



    egin{bmatrix} . \ . \ . end{bmatrix}


    ???...????
    应用线性变换



    ??

    ?
    ??


    iff


    ?与这个向量做点积

    根据





    v







    overrightarrow{v}


    v






    w







    overrightarrow{w}


    w
    定义一个三维到一维的线性变换




    ?



    Rightarrow


    ?找到它的对偶向量




    ?



    Rightarrow


    ?说明其就是





    v






    ×



    w







    overrightarrow{v} imesoverrightarrow{w}


    v
    ×w






    f



    (



    [






    x








    y








    z






    ]



    )



    =


    det


    ?



    (



    [






    x







    v


    1








    ω


    1









    y







    v


    2








    ω


    2









    z







    v


    3








    ω


    3







    ]



    )




    fleft( egin{bmatrix} x \ y \ z end{bmatrix} ight) =det left( egin{bmatrix} x & v_{1} & omega_{1} \ y & v_{2} & omega_{2} \ z & v_{3} & omega_{3} end{bmatrix} ight)


    f??????xyz???????=det??????xyz?v1?v2?v3??ω1?ω2?ω3?????????一个线性变换
    其中




    det


    ?



    (



    [






    x







    v


    1








    ω


    1









    y







    v


    2








    ω


    2









    z







    v


    3








    ω


    3







    ]



    )




    det left( egin{bmatrix} x & v_{1} & omega_{1} \ y & v_{2} & omega_{2} \ z & v_{3} & omega_{3} end{bmatrix} ight)


    det??????xyz?v1?v2?v3??ω1?ω2?ω3????????是这三个向量构成的*行六面体的体积
    这是一个线性变换
    f是





    [





    ]




    [






    x








    y








    z






    ]







    [






    .








    .








    .






    ]



    .



    [






    x








    y








    z






    ]




    left[ ldots ight] egin{bmatrix} x \ y \ z end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix} . \ . \ . end{bmatrix} .egin{bmatrix} x\ y\ zend{bmatrix}


    […]???xyz????→???...????.???xyz????





    [






    .








    .








    .






    ]



    egin{bmatrix} . \ . \ . end{bmatrix}


    ???...????是p
    p




    ?



    {








    p


    1



    =



    v


    2




    w


    3



    ?



    v


    3




    w


    2












    p


    2



    =



    v


    3




    w


    1



    ?



    v


    1




    w


    3












    p


    3



    =



    v


    1




    w


    2



    ?



    v


    2




    w


    1










    Rightarrow egin{cases}p_{1}=v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2}\ p_{2}=v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3}\ p_{3}=v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}end{cases}


    ???????p1?=v2?w3??v3?w2?p2?=v3?w1??v1?w3?p3?=v1?w2??v2?w1??
      在计算上:右边那个行列式最后算出来就是这样的在几何上:*行四边形的面积




      ×


      (


      x


      ,


      y


      ,


      z


      )



      imes(x,y,z)


      ×(x,y,z)在垂直于





      v







      overrightarrow{v}


      v






      w







      overrightarrow{w}


      w
      方向上的分量=垂直于





      v







      overrightarrow{v}


      v






      w







      overrightarrow{w}


      w
      且长度为*行四边形的面积的向量




      ?



      [






      x








      y








      z






      ]




      cdotegin{bmatrix} x \ y\ z end{bmatrix}


      ????xyz????(注意点乘是投影




      ×



      imes


      ×原长,投影过去就是*行六面体的高,原长(p)是*行四边形的面积)



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