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甘肃省天水一中2014届高三下学期第七次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

发布时间:

天水一中 2011 级高三第七次模拟考试

数学(理科)

命题:武笎 审核:蔡恒录
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.设集合 S ? {x | x ? ?2},T ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0},则 (CRS) T ? ( )

A. (?2,1] B. (??,?4] C. (??,1]

D.[1,??)

开始

2.下面是关于复数 z ? 2 的四个命题:其中的真命题为 (

)

?1? i

p1 : z ? 2 , p2 : z 2 ? 2i , p3 : z 的共轭复数为 1+i , p4 : z 的虚

部为-1

i=0,A=2 i=i+1

A. p1, p3

B. p1, p2

C. p2 , p4

D. p3 , p4

3.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )

1 A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 2

4.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取 自阴影部分的概率为( )

1
A=1-
A

i>2014?



? 是

A、 1 B、 1 C、 1 D、 1

4

5

6

7

5.已知 (ax ? 1)5 的展开式中 x3 的系数是 10,

输出 A 结束

则实数 a 的值是( )

1

13

A.1 B. 2 C. ?1 D. 2

6.如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这 个四棱锥的体积为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

? ? 7.



f(x)=

??2ex?1, ? ??log3

x?2 x2 ?1

,则不等式
,x?2

f(x)<2

的解集为

()

正(主)视图
2 俯视图

11 侧(左)视图

A.( 10 ,+∞)

B.(-∞,1)∪[2, 10 )

C.(1,2]∪( 10 ,+∞)

D.(1, 10 )

8.椭圆

=1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|

是|PF2|的( )

A.7 倍

B.5 倍

C.4 倍

D.3 倍

9.已知函数 y=x3-3x+c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c=(

)

A.-2 或 2

B.-9 或 3

C.-1 或 1

D.-3 或 1

10. 已知函数 f (x) ? cos x sin 2x ,下列结论中错误的是( )

A. y ? f (x) 的图像关于点 (? , 0) 中心对称 B. y ? f (x) 的图像关于直线 x ? ? 对称
2 C. f (x) 的最大值为 3
2

D. f (x) 既是奇函数,又是周期函数

11.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0)

,

A1, A2 为实轴顶点, F

是右焦点, B(0,b) 是虚轴端点,

若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 Pi (i ? 1,2) ,使得 ?Pi A1 A 2 构成以 A1 A2 为斜

边的直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是(

A. ( 2, ??)

B. ( 5 ?1, ??) 2

C. (1, 5 ?1) 2

) D. ( 2, 5 ?1) 2

12.若函数 f (x) 满足 f (x) ?1 ? 1 ,当 x∈[0,1]时, f (x) ? x ,若在区间(-1,1] f (x ?1)

上, g(x) ? f (x) ? mx ? 2m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( )

A.0<m≤ 1 3

B.0<m< 1 3

C. 1 <m≤l 3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

D. 1 <m<1 3

13.*面向量 a 与 b 的夹角为 600 , a ? (2,0) , b ? 1 则 a ? 2b ? _______.

?x ? 2y ?5 ? 0

14.设变量

x,y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

2

?

0

,则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为

??x ? 0

15.已知三棱锥 D ? ABC 中,AB ? BC ? 1,AD ? 2 ,BD ? 5 ,AC ? 2 ,BC ? AD ,
则三棱锥的外接球的表面积为
16.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示 ?ABC 的面积,若

a cos B ? b cos A = c sin C, S ? 1 (b2 ? c2 ? a 2 ),则?B = 4
三、解答题
17.(12 分)设 Sn 为等差数列?an? 的前 n 项和,已知 S3 ? a7 , a8 ? 2a3 ? 3 .

(1)求 an ;

(2)设 bn

?

1 Sn

,数列?bn? 的前 n

项和记为 Tn

,求 Tn

.

18. (12 分)在如图的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,四边形 ABCD 为等腰梯形,AB

∥ CD , AB ? 2BC , ?ABC ? 60? , AC ? FB .

E

F

(1)求证: AC ? *面 FBC ;

(2)求直线 BF 与*面 ADE 所成角的正弦值.

19.(12 分)某电视台组织部分记者,用“10 分制”随机调查

D

某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图

C

所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一 A

B

位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福指数不低于 9.5 分,则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这 16 人中随机选 取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,
记? 表示抽到“极幸福”的人数,求? 的分布列及数学期望.
20.(12 分)设抛物线 C :y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,过准线 l 上一点 M (?1, 0)
且斜率为 k 的直线 l1 交抛物线 C 于 A ,B 两点,线段 AB 的中点为 P ,直线 PF 交抛物线 C 于 D , E 两点. (1)求抛物线 C 的方程及 k 的取值范围; (2)是否存在 k 值,使点 P 是线段 DE 的中点?若存在,求 出 k 值,若不存在,请说明理由.
21.(12 分)设函数 f(x)=x2+aln(x+1)
(1)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞ )上是单调递增函 数,求实数 a 的取值范围;

(2)若 函 数

y= f(x)有两个极值点x1,x2 且 x1<x2 求证:

0?

f (x2 ) ? ? 1 ? ln 2

x1

2

22.(10 分)已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 ,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线

CD ,过 A 点作 AD ? CD 于 D ,交半圆于点 E , DE ? 1 .

D

(1)求证: AC *分 ?BAD ; (2)求 BC 的长.

E

C

23.(10 分)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,直线 l 的

A











? ?? ?

x

?

1 2

?

3t 2 ( t 为 参 数 ), 点 A 的 极 坐 标 为

O

B

??? x

?

1 2

?

1 2

t

? ???

2 2

,

? 4

? ???

,设直线

l

与圆

C

交于点

P



Q

.

(1)写出圆 C 的直角坐标方程;

(2)求 AP ? AQ 的值.

24.(10 分)函数 f (x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?a .

(1)若 a ? 5 ,求函数 f (x) 的定义域 A ;

(2)设 B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,当实数 a , b ? B

(CR

A)

时,求证:

|

a

? 2

b

|

?|

1

?

ab 4

|



选择题、C,C,C,C,A,B,B,A,A,C,D,A

2
填空题、

3 ,10, 6? ,45°

数学理科

17.(1)设数列 {an } 的公差为

d

,由题得

???3(aa11

? ?

3d 7d

? a1 ? 6d ) ? 2(a1 ? 2d

)

?

3

3分

解得 a1 ? 3, d ? 2

5分

∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1

6分

(2)由(1)得,

Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

?

n(n

?

2)

8分

∴ bn

?

1 n(n ?

2)

?

1 2

(1 n

?

n

1 ?

) 2

10 分

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

?

bn?1

?

bn

?

1 2

???(1 ?

1) 3

?

(1 2

?

1) 4

?

?

(

n

1 ?1

?

n

1) ?1

?

(1 n

?

n

1 ?

2

)

? ??

? 1 (1? 1 ? 1 ? 1 ) 2 2 n?1 n? 2

12 分

18.(1)证明:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60?

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC .所以 AC2 ? BC2 ? AB2 .所以 AC ? BC .

因为 AC ? FB , BF BC ? B , BF 、 BC ? *面 FBC ,所以 AC ? *面 FBC . -4



(2)由(1)知, AC ? *面 FBC , FC ? *面 FBC ,所以 AC ? FC .

因为*面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC .

因为 AC CD ? C ,所以 FC ? *面 ABCD .

E

所以 CA ,CB ,CF 两两互相垂直,建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .

因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?ABC ? 60?
所以 CB ? CD ? CF .
? ? 不妨设 BC ? 1,则 B ?0,1, 0? , F ?0, 0,1? , A 3, 0, 0 ,

? D ???

3 2

,

?

1 2

,

0

? ???



E

? ???

3 2

,

?

1 2

? ,1???



所以BF ? (0,-1,1),DA ?( 3 ,1 ,0),DE ?(0,0,1) 22

D xA

设*面ADE的法向量为n

?

(x, y, z),则有???n ?DA ? 0既??? ??n ?DE ? 0 ??

3 2

x? y 2
z?0

?

0

取x ? 1,得n ?(1,- 3,0)是*面ADE的一个法向量 设直线BF与*面ADE所成的角为?,

则sin? ?| cos?BF,n? |?| BF ? n |?| (0,-1,1) ? (1,- 3,0) |? 6

| BF | ? | n |

2?2

4

所以直线BF与*面ADE所成角的正弦值为 6 ???????????????12分 4
19.(1)众数:8.6;中位数:8.75 ;
(2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A , 则

z F
C B y

P( A)

?

P( A0 )

?

P( A1)

?

C132 C136

? C41C122 C136

? 121 140



(3) ξ 的可能取值为 0,1,2,3.

P(?

? 0)

? (3)3 4

?

27 64



P(?

? 1)

? C31

1 (3)2 44

?

27 64



P(?

?

2)

?

C32

(

1 4

)

2

3 4

?

9 64

; P(?

?

3)

?

(1)3 4

?

1 64

.

ξ 的分布列为:

ξ0

1

23

P 27
64

27

9

1

64

64 64

E? ? 0? 27 ?1? 27 ? 2? 9 ? 3? 1 ? 0.75 .
64 64 64 64

另解: ξ

的可能取值为

0,1,2,3,则 ?

~

B(3,

1) 4

,因此

P(?

?

k)

?

C3k

(1)k 4

( 3)3?k 4

.

有 P(?

?

0)

?

(3)3 4

?

27 64



P(?

? 1)

?

C31

1 (3)2 44

?

27 64



P(?

?

2)

?

C32

(

1 4

)

2

3 4

?

9 64

; P(?

?

3)

?

(1)3 4

?

1 64

.

ξ 的分布列为:

ξ0

1

23

P 27
64

27

9

1

64

64 64

所以 E? = 3? 1 ? 0.75. 4
20.(1)由已知得 ? p ? ?1,∴ p ? 2 .∴抛物线方程为 y2 ? 4x . 2 分 2

设 l1 的方程为 y ? k(x ?1) , A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) , D(x3, y3 ) , E(x4 , y4 ) ,



?y ? k(x

? ?

y

2

?

4x

? 1)


ky 2

?

4y

?

4k

?

0



4分

? ? 16 ?16k 2 ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1,注意到 k ? 0 不符合题意,

所以 k ? (?1, 0) (0,1) . (2)不存在 k 值,使点 P 是线段 DE 的中点.理由如下:

5分 6分

有(1)得 ky2

? 4y ? 4k

?

0 ,所以

y1

?

y2

?

4 k

,所以

x1

?

x2

?

4 k2

? 2 , P( 2 k2

? 1,

2) , k

直线

PF

的方程为

y

?

k 1? k2

(x

?1) .

8分



? ? ?

y

?

1

k ?k

2

?? y2 ? 4x

(x

?1)



ky 2

?

4(1 ?

k2)y

?

4k

?

0



y3

?

y4

?

4(1 ? k

k2)



10 分

当点 P 为线段 DE 的中点时,有 y1 ? y2 ? y3 ? y4 ,即 2 ? 2(1? k 2 ) ,因为 k ? 0 ,所以

2

2

k

k

此方程无实数根.因此不存在 k 值,使点 P 是线段 DE 的中点.

12 分

21.解:(Ⅰ) f / (x) ? 2x 2 ? 2x ? a ? 0 在区间[1,??) 上恒成立, x ?1

即 a ? ?2x 2 ? 2x 区间[1,??) 上恒成立, …………………1 分

a ? ?4 .………………3 分

经检验, 当 a=- 4 时, f / (x) ? 2x 2 ? 2x ? 4 ? 2(x ? 2)(x ?1) , x ?[1,??) 时,

x ?1

x ?1

f / (x) ? 0 ,

所以满足题意的 a 的取值范围为[?4, ??) .………………4 分

(Ⅱ)函数的定义域 (?1,??) , f / (x) ? 2x 2 ? 2x ? a ? 0 ,依题意方程 2x 2 ? 2x ? a ? 0 x ?1

?

?? ? 0

在区间 (?1,??)

有两个不等的实根,记

g(x)

?

2x2

?

2x

?

a

,则有

? ? g (?1)

?

0



? ??

1

?

?1

?2

得 0 ? a ? 1 .……………………6 分 2

? x1

?

x2

?

?1,

2 x 22

?

2x2

?

a

?

0 , x2

?

?1 2

?

1? 2a 2

,?

1 2

?

x2

?

0,

f

(x2 )

?

x22

?

(2

x

2 2

? 2x2 ) ln(x2

? 1)

,令 k(x)

?

x2

? (2x2

? 2x) ln(x

? 1) , x ? (? 1 ,0)

x1

?1? x2

?1? x

2

……………………8 分

k(x) ? ? x 2 ? 2x ln(x ? 1) , k / (x) ? x 2 ? 2 ln(x ? 1) , k // (x) ? 2x2 ? 6x ? 2 ,

x ?1

(x ? 1)2

(x ? 1)3

因为

k

//

(?

1) 2

?

?

1 2

,

k

//

(0)

?

2

,存在

x0

?

(?

1 2

,0)

,使得

k

//

(x0

)

?

0



x

(?

1 2

,

x0

)

x0

(x0 ,0)

k // (x)

-

0

+

k / (0) ? 0 ,k / (? 1 ) ? 1 ? 2 ln 2 ? 0 ,? k / (x) ? 0 ,所以函数 k(x) 在 (? 1 ,0) 为减函数,

2

2

…………………10 分

k(0) ? k(x) ? k(? 1 ) 即 0 ? f (x2 ) ? ? 1 ? ln 2 ……………………12 分

2

x1

2

法二:6 分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分.

【证法 2】 x2 为方程 2x2 ? 2x ? a ? 0 的解,所以 a ? ?2x22 ? 2x2 ,

∵0?a? 1 , 2

x1

?

x2

?

0,

x2

?

?1 2

?

1? 2a 2

,∴ ? 1 2

?

x2

?

0,

先证

f (x2 ) x1

? 0 ,即证

f (x2 ) ? 0 ( x1

?

x2

? 0 ),

在区间 (x1 , x2 ) 内, f ?(x) ? 0 , (x2 , 0) 内 f ?(x) ? 0 ,所以 f (x2 ) 为极小值, f (x2 ) ? f (0) ? 0 ,



f (x2 ) ? 0 ,∴

f (x2 ) x1

? 0 成立;…………………8 分

再证

f

(x2 ) x1

? ? 1 ? ln 2 ,即证 2

f

( x2

)

?

(?

1 2

?

ln

2)(?1

?

x2

)

?

(

1 2

?

ln

2)(

x2

? 1)

,

x22

? (2x22

? 2x2 ) ln(x2

?1) ? (1 2

? ln 2)x2

?

1 2

? ln 2 ,

令 g(x) ? x2 ? (2x2 ? 2x) ln(x ?1) ? (1 ? ln 2)x , x ? (? 1 , 0) …………………10 分

2

2

g ?(x) ? 2x ? (4x ? 2) ln(x ?1) ? 2x(x ?1) ? (1 ? ln 2) , x ?1 2

? ?2(2x ?1) ln(x ?1) ? (1 ? ln 2) , 2

ln(x ?1) ? 0 , 2x ?1 ? 0 , 1 ? ln 2 ? 0 , 2

∴ g ?(x) ? 0 , g(x) 在 (? 1 , 0) 为增函数. 2

g(x) ? g(? 1) ? 1 ? (2 ? 1 ?1) ln 1 ? 1 (1 ? ln 2)

24

4

2 22

? 1 ? 1 ln 1 ? 1 ? 1 ln 2 ? 1 ? ln 2 .

42 242

2

综上可得 0 ? f (x2 ) ? ? 1 ? ln 2 成立.………………………12 分

x1

2

22. 【答案】(1)参考解析;(2) 2

【解析】

试题分析:(1)需证明 AC *分 ?BAD ,通过连接 OC,EC.由题意可得直线 AD∥OC.从而可

得角 DAC 等于角 ACO.又由于三角形 AOC 是等腰三角形.即可得到结论.

(2)由(1)的结论∠DAC=∠CAB.以及再根据弦切角与所夹的弧对的圆周角相等即可得到三

角形 DEC 相似三角形 CBA.

D

E

C

A

O

B

(1)连接 OC ,因为 OA ? OC ,

所以 ?OAC ? ?OCA .

CD 为半圆的切线,∴ OC ? CD .

∵ AD ? CD ,?OC / / AD . ??OCA ? ?CAD,??OAC ? ?CAD .

? AC *分 ?BAD .

5分

(2)连接 CE ,由(1)得 ?OAC ? ?CAD ,∴ BC ? CE . ∵ A、B、C、E 四点共圆.∴ ?CED ? ?ABC .

∵AB 是圆 O 的直径,∴ ?ACB 是直角.∴ Rt?CDE ∽ Rt?ACB ,

? DE ? CB .∴ 1 ? BC ? BC ? 2 . CE AB BC 4
考点:1.弦切角与圆周角.2.圆的切线.3.等腰三角形.

10 分

23【答案】(1) ? x ?1?2 ? y2 ? 1;(2) 1 .
2
【解析】

试题分析:(1)在极坐标方程 ? ? 2 cos? 的两边同时乘以 ? ,然后由 ? 2 ? x2 ? y2 ,

? cos? ? x 即可得到圆 C 的直角坐标方程;(2)将直线 l 的标准参数方程代入圆的直角坐

标方程,消去 x 、 y 得到有关 t 的参数方程,然后利用韦达定理求出 AP ? AQ 的值.

(1)由 ? ? 2 cos? ,得 ? 2 ? 2? cos?

? 2 ? x2 ? y2 , ? cos? ? x ,
? x2 ? y2 ? 2x 即 ? x ?1?2 ? y2 ? 1, 即圆 C 的直角坐标方程为 ? x ?1?2 ? y2 ? 1;

? (2)由点 A 的极坐标 ???

2 2

,

? 4

? ???

得点

A

直角坐标为

? ??

1 2

,

1 2

? ??



?1 3



?? x ?

?

2

?

2

t
代入 ? x ?1?2 ? y2 ? 1消去 x 、 y ,整理得 t2 ?

???y

?

1 2

?

1 2

t

3 ?1t ? 1 ? 0 , 22

设 t1 、 t2 为方程 t 2 ?

3 ?1t 2

?

1 2

?

0

的两个根,则 t1t2

?

?

1 2



所以

AP ?

AQ

?

t1t2

?1. 2

考点:1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;2.韦达定理

24.【答案】(1){x x ≤ ? 4 或 x ≥1} ;(2)参考解析

【解析】

试题分析:(1)由| x ?1| ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ,绝对值的零点分别为-1 和-2.所以通过对实数分

三类分别去绝对值可求得结论.

(2)由(1)可得定义域 A.又 B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,当实数 a ,b ? B (CR A) ,所以可以

求得实数 a ,b 的范围. 需求证:| a ? b | ?|1? ab | ,等价于*方的大小比较,通过求差法,

2

4

又 a,b ? (?1,1) 即可得到结论.

(1)由| x ?1| ? | x ? 2 | ?5 ? 0

解得 A ? {x | x ≤ ? 4 或 x ≥1} .

5分

(2)?

B

?

(C R

A)

?

(?1,1)

,又

|

a

? 2

b

|

?|

1

?

ab 4

|?

2

|

a

?

b

|?|

4

?

ab

|



4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2 ? 4(a2 ? 2ab ? b2 ) ? (16 ? 8ab ? a2b2 )

? 4a2 ? 4b2 ? a2b2 ?16 ? a2 (4 ? b2 ) ? 4(b2 ? 4) ? (b2 ? 4)(4 ? a2 )

及 a,b ? (?1,1) ,?(b2 ? 4)(4 ? a2 ) ? 0 .?4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2 .? | a ? b | ?|1? ab | . 10

2

4



考点:1.绝对值不等式.2.求差法比较两个数的大小.




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