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甘肃省天水一中2014届高三下学期第六次模拟考试数学(文)试卷Word版含答案

发布时间:

天水一中 2011 级高三第 6 次模拟考试试题

数 学(文科)

命题:马四保

审核:蔡恒录

一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,)

1.已知集合 U ? R ,集合 M ? {y y ? 2x , x ? R} ,集合 N ? {x y ? lg(3 ? x)} ,则

?CU M ? ? N ? ( )

A.?y y ? 3?

B. ?y y ? 0?

C.?y 0 ? y ? 3?

D. ?

2.i

是虚数单位,复数

? ??

3 1

? ?

i i

?2 ??

表示的点落在哪个象限

()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,

邻边长分别等于线段 AC、CB 的长,则该矩形面积大于 20cm2 的概率为( )

A. 1 6

B. 1 3

C. 2 3

D. 4 5

4.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 31,则

判断框中整数 M 的值是( )

A.3 B.4 C.5 D.6

5.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为

()

A. 24 ? 3? 2
C. 24 ? ?

B. 24 ? ? 3
D. 24 ? ? 2

6.设 F1 、F2 分别为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>0,b>0) 的

左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足

PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的

实轴长,则该双曲线的离心率为( )

A. 5 4

B. 5

C. 2

D. 2

3

7.已知

f

?x? ?

1 x2 4

?

sin

? ??

? 2

?

x

? ??

,

f ??x? 为

f

? x? 的导函数,则

f ?? x? 的图像是(



8.定义一种运算 (a, b) ? (c, d ) ? ad ? bc ,若函数 f (x) ? (1,ln x) ? (tan 8? ,2x ) ,
3

x0 是方程 f (x) ? 0 的解,且 x0 ? x1,则 f (x1 ) 的值( )

A.恒为正值 B.等于 0

9.已知 log 1 m < log 1 n <0,则(

2

2

(A)n<m<1

(B)m<n<1

C.恒为负值 )
(C)1<m<n

D.不大于 0
(D)1<n<m

10.命题 p : x ? R 且满足 sin 2x ? 1 .命题 q : x ? R 且满足 tan x ? 1 .则 p 是 q 的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件

不必要条件

11.函数 y ? ln(x ? 1) 与 y ? 1 的图像交点的横坐标所在区间为( x

D. 既不充分也 )

A. (0,1)

B. (1, 2)

C. (2,3)

D. (3, 4)

12.抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,已知点 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足

MN

?AFB ? 90 .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则

的最大

AB

值为( )

A. 2 2

B. 3 2

C. 1

D. 3

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).

13.已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形,侧面的面积为 1 ,则 2
它的外接球体积为

D

C

14.如图,正方形 ABCD 的边长为1,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,

连接 EC 、 ED , 则 sin ?CED ?

E

A

B

15.已知直线 y ? kx ?1与曲线 y ? x3 ? ax ? b 切于点 (1,3) ,则 b 的

值为__________.

16.已知 ?ABC 面积 S 和三边 a,b, c 满足: S ? a 2 ? (b ? c)2 ,b ? c ? 8 ,则 ?ABC 面积 S

的最大值为_______________ .

三、解答题本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
17.(12 分)已知等差数列 ?an ?满足 a3 ? 10, a5 ? 2a2 ? 6 .

(Ⅰ)求 an ;

?2n?1 ?n为奇数?

? ? (Ⅱ)数列?bn ?满足 bn

?

? ?1

?? 2 an?1

n为偶数

, Tn 为数列?bn ?的前 n 项和,求 T2n .

18 .( 12 分 ) 已 知 点 A(1, 2) 是 离 心 率 为 2 的 椭 圆 C :

P

2

x2 b2

?

y2 a2

? 1(a

?

b

?

0) 上的一点,斜率为

2 的直线 BD 交椭圆 C

于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合.

A E

F D

(1)求椭圆 C 的方程;

B

C

(2) ?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若

不存在,请说明理由?

19.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45,

点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点.

(1)求证:AF∥*面 PCE;(2)求三棱锥 C-BEP 的体积.

20.(12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得

到了如下的列联表:

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计

男生

5

女生

10

合计

50

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 3 . 5
(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;
(3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中, A1, A2 , A3 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还喜欢打乒

乓球, C1,C2 还喜欢踢足球,现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的 8 位女

生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

下面的临界值表供参考: 0.15
p(K 2 ? k)

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

,n ? a?b?c?d )

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

21.(12 分)函数 f (x) ? sin x .

(1)令

f1(x) ?

f

' (x),

f n?1 (x) ?

f

' n

(

x),

(n

?

N

*

)

,求

f 2014 (x) 的解析式;

(2)若 f (x) ? 1 ? ax ? cos x 在 ?0,? ?上恒成立,求实数 a 的取值范围.

....

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则

E

按所做第 1 题计分。作答时请写清题号。
22.(10 分)如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点, AD ? BC 于点 D ,过点 B 作圆 O 的切线,与 CA 的延长 线交于点 E ,点 G 是 AD 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相 P 交于点 F ,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . (Ⅰ)求证: BF ? EF ;(Ⅱ)求证: PA 是圆 O 的切线.

A F
G

B

DO

C

23.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

2?t t ?1

(t

为参数),以该直角坐标系的原点

O

为极点,

x

轴的正半轴为极轴的极坐标系

下,曲线 P 的方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 . (1)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程;(2)设曲线 C 和曲线 P 的交点 A 、B , 求 AB .

24.(10 分)已知函数 f (x) ? 2x ? a ? 5x ,其中实数 a ? 0 .

( 1) 当 a ? 3 时 ,求不 等式 f (x) ? 5x ?1 的 解集 ;( 2) 若不等 式 f (x) ? 0 的 解集 为

{x x ? ?1} ,求 a 的值.

答案:

1—12 BCCBA BAADC BA

13. 23π

14. 10 15.3 16.64/17 10

17、【答案】(Ⅰ) an

?

a1

? (n

?1)d

?

4n

?

2

(Ⅱ) T2 n

?

S奇

?

S偶

?

2n2

?

n

?

4n ?1 3

18、【答案】(1) x2 ? y2 ? 1(2) 2 24

【解析】试题分析:解:(1)? e ? 2 ? c , 2a

1 b2

?

2 a2

? 1, a2

? b2

? c2

?a ? 2,b ? 2 ,c ? 2

? x2 ? y2 ?1 24

(2)设直线 BD 的方程为 y ? 2x ? b

?

?y ?

? ?2

x

2

?

2x y2

? ?

b 4

?

4x2

?

2

2bx ? b2 ? 4 ? 0

? ? ? ?8b2 ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2

x1 ? x2 ? ?

2 b, 2

----①

x1x2

?

b2 ? 4

4

-----②

? BD ?

1? (

2)2 x1 ? x2 ?

3 ?? 4

3

64 ? 8b2 ? 4

6 2

8 ? b2 ,

设 d 为点 A 到直线 BD: y ? 2x ? b 的距离, ? d ? b 3

?

S?ABD

?

1 2

BD d

?

2 4

(8 ? b2 )b2 ?

2 ,当且仅当 b ? ?2 时取等号.

因为 ?2 ? (?2 2,2 2) ,所以当 b ? ?2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为 2

19、试题解析:(1)证明:取 PC 的中点 G,连接 GF,因为 F 为 PD 的中点,

所以,GF∥CD 且 GF ? 1 CD, 又 E 为 AB 的中点,ABCD 是正方形, 2

所以,AE∥CD 且 AE ? 1 CD, 故 AE∥GF 且 AE ? GF, 2
所以,AEGF 是*行四边形,故 AF∥EG,而 AF ? *面 PCE ,

EG ? *面 PCE ,所以,AF∥*面 PCE .

(2)因为 PA⊥底面 ABCD,所以,PA 是三棱锥 P-EBC 的高,PA⊥AD,PA=2,

∠PDA=450,所以,AD=2,正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,所以,EB=1,故 Rt?EBC 的面

积为 1,故VC?BEP

? VP?EBC

?

1 ?1? 2 ? 3

2 .故三棱锥 C-BEP 的体积为 2 .

3

3

20、【答案】(1)

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计

男生

20

5

25

女生

10

15

25

合计

30

20

50

5 (2) 有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关;(3) B1 和 C1 不全被选中的概率 6 .

【解析】

试题解析:(1)列联表补充如下:

喜爱打篮球

男生

20

女生

10

合计

30

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

K 2 ? 50? (20?15 ?10? 5)2 ? 8.333 ? 7.879

(2)∵

30? 20? 25? 25

∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名,其一切可能的 结果组成的基本事件如下:

( A1,B1,C1),( A1,B1,C2 ),( A1,B2,C1)



( A1,B2,C2 ),( A1,B3,C1)



( A1,B3,C2 ), ( A2,B1,C1),( A2,B1,C2 ),( A2,B2,C1) , ( A2,B2,C2 ) , ( A2,B3,C1) ,

( A2,B3,C2 )



( A3,B1,C1),( A3,B1,C2 ),( A3,B2,C1)



( A3,B3,C2 ) , ( A3,B2,C2 ),( A3,B3,C1),

基本事件的总数为 18,用 M 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示

“ B1,C1 全被选中”这一事件,由于 M 由

( A1,B1,C1),( A2,B1,C1),( A3,B1,C1) ,

P(M )
3 个基本事件组成,所以

?3 18

?

1 6

P(M ) ?1? P(M ) ?1? 1 ? 5

由对立事件的概率公式得

6 6.

考点:独立性检验的应用;等可能事件的概率.

21、试题解析:(1) f1 (x) ? cos x, f2 (x) ? ? sin x, f3 (x) ? ? cos x, f4 (x) ? sin x …周期为
4,

? f 2014 (x) ? f503?4?2 (x) ? f 2 (x) ? ? sin x .

:设 g(x) ? sin x ? 1 ? ax ? cos x , g ' (x) ? cos x ? a ? sin x ?

2 sin(x ? ? ) ? a 4.

? ? ? x ??0,? ?,?

2 sin(x ? ? ) ? ?1, 4

2
.

当 a ? ?1时,g ' (x) ? 0 在 ?0,? ?上恒成立,? g(x) ? g(x)min ? g(0) ? 0 成立,故 a ? ?1;

当a ?

2

时,g ' (x)

?

0 在 ?0,? ?上恒成立,g(x)min

?

g(? )

?

2 ? ?a

?

0得a

?

2 ?

,无解.

当 ?1 ? a ? 2 时,则存在 x0 ? (0,? ?使得 x ? (0, x0 ) 时 g(x) 增, x ? (x0 ,? ? 时 g(x) 减,

故 g(x)min

?g(0) ? 0

?

?g(0),

g (?

)?,?

? ?

g

(?

)

?

0

,解得

a

?

2 ?

?1?
,故

a

?

2 ?

.

?a ? 2

综上:

?.

22、【答案】(Ⅰ)详见试题解析;(Ⅱ)详见试题解析. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)由 EB ? BC ,AD ? BC 可得 AD ∥ BE ,从而可得 BF ? CF ,EF ? CF DG CG AG CG
通过等量代换及题设“点 G 是 AD 的中点”可得 BF ? EF .

(Ⅱ)目标是要证 ?OAP 是直角,连结 AO,AB 便可看出只要证得 OAB, FAB 是等腰三

角形即可. OAB 显然是等腰三角形。因为直径上的圆周角是直角,∴?BAC ? 90° ,所

以 △BAE 是直角三角形. 由(Ⅰ)得 BF ? EF 所以 BF ? AF ,从而本题得证. 试题解析:证明:(Ⅰ) ∵ BC 是圆 O 的直径, BE 是圆 O 的切线,

∴ EB ? BC .又∵ AD ? BC ,

∴ AD ∥ BE .

可以得知△BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC .

∴ BF ? CF ,EF ? CF .∴ BF ? EF . DG CG AG CG DG AG

∵G 是 AD 的中点,∴ DG ? AG .∴ BF ? EF .

5分

(Ⅱ)连结 AO,AB . ∵ BC 是圆 O 的直径,∴?BAC ? 90° . 在 Rt△BAE 中,由(Ⅰ)得知 F 是斜边 BE 的中点, ∴ AF ? FB ? EF .∴?FBA ? ?FAB .

又∵OA ? OB ,∴?ABO ? ?BAO . ∵ BE 是圆 O 的切线,∴?EBO ? 90° ∵?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90°, ∴ PA 是圆 O 的切线.

10 分

23 、【 答 案 】( 1 ) 曲 线 C 的 普 通 方 程 : x ? y ?1 ? 0 ; 曲 线 P 的 直 角 坐 标 方 程 为

x2 ? y2 ? 4x ? 3 ? 0.

(2) AB ? 2

【解析】

试题分析:(1)由

?x

? ?

y

? ?

2?t t ?1

(t

为参数)消去参数

t

得曲线

C

的普通方程



?? ???

2 ? x2 cos?

? ?

y2 x

代入

?

2

?

4?

cos?

?

3

?

0

得曲线

P

的直角坐标方程.

(2)由于曲线 C 为直线,曲线 P 为圆,所以求出圆的半径 r 及圆心到直线的距离 d ,再由

AB ? 2 r2 ? d 2 便可求得 AB .

试题解析:(1)由

?x

? ?

y

? ?

2?t t ?1

(t

为参数)消去参数

t

得曲线

C

的普通方程:

x

?

y

?1

?

0



??2 ? x2 ? y2 ??? cos? ? x

代入

? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0

得曲线

P

的直角坐标方程为

x2 ? y2 ? 4x ? 3 ? 0. 4 分

(2)曲线 p 可化为 (x ? 2)2 ? y2 ? 1,表示圆心在 (2, 0) ,半径 r ? 1的圆,

所以圆心到直线 C 的距离为 d ? 2 ?1? 0 ? 2

2

2

所以 AB ? 2 r2 ? d 2 ? 2

10 分

24、【答案】(1) 不等式 f (x) ? 5x ?1的解集为{x x ? 1或x ? 2};(2) a ? 3
【解析】
试题分析:(1)将 a ? 3 代入 f (x) ? 5x ?1 得一绝对值不等式: 2x ? 3 ? 1,解此不等式即
可. (2)含绝对值的不等式,一般都去掉绝对值符号求解。本题有以下三种考虑:
思路一、根据 2x ? a 的符号去绝对值. 2x ? a ? 0 时, 2x ? a ? 2x ? a ,所以原不等式转

化 为 2x ? a ? 5x ? 0 ; 2x ? a ? 0 时 , 2x ? a ? ?2x ? a , 所 以 原 不 等 式 转 化 为
?2x ? a ? 5x ? 0 思路二、利用 f (x) ? g(x) ? ?g(x) ? f (x) ? g(x) 去绝对值. 2x ? a ? ?5x ,此不等式
化等价于 5x ? 2x ? a ? ?5x .
思路三、从不等式与方程的关系的角度突破.本题是含等号的不等式,所以可取等号从方程 入手.
试题解析:(1)当 a ? 3 时, f (x) ? 5x ?1可化为 2x ? 3 ? 1,由此可得 x ? 1或 x ? 2

故不等式 f (x) ? 5x ?1的解集为{x x ? 1或x ? 2}

5分

(2)法一:(从去绝对值的角度考虑)



f

?x? ?

0

,得

2x ? a

?

?5x

,此不等式化等价于

? ? ?

x

?

a 2



? ?

x

?

?

a 2

??2x ? a ? 5x ? 0 ???(2x ? a) ? 5x ? 0

解之得

??? x ? ??? x

? ?

a 2 a 7



? ??

x

?

? ??

x

? ?

a 2
?

a 3

,

因为 a

?

0 ,所以不等式组的解集为

? ?

x

?

x

?

?

a 3

? ? ?

,由题设可得

?

a 3

?

?1,故 a

?

3

10 分

法二:(从等价转化角度考虑)

由 f ? x? ? 0 ,得 2x ? a ? ?5x ,此不等式化等价于 5x ? 2x ? a ? ?5x ,

即为不等式组

?5x ??2x

? ?

2 a

x?a ? ?5x

,解得

? ?? ? ?

x x

? ?

? a

a 3

,

?? 7

因为 a

?

0 ,所以不等式组的解集为

? ?

x

?

x

?

?

a 3

? ? ?

,由题设可得

?

a 3

?

?1,故 a

?

3

10 分




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