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九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程重难点突破素材新版新人教版20180109195

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二次函数与一元二次方程 重难点突破 一、一元二次方程根的几何意义 突*ㄒ椋憾杂谝辉畏匠谈募负我庖宓睦斫猓梢韵雀*用函数观点讨论一元一次 方程等内容,例如画一次函数 的图象,并指出函数 的图象与 x 轴有几个交 点,交点的横坐标是什么?在这个过程中,学生体会一次函数与一元一次方程的联系,明确一 元一次方程的解,用函数的观点看即其图象与 x 轴的交点的横坐标,这正是一元一次方程的解 的几何意义.由此启发引导学生能否从二次函数的观点来看待一元二次方程.通过类比的学* 方法,进一步认识一元二次方程根的几何意义,就是对应抛物线与 x 轴公共点的横坐标.教学 中,教师要放手让学生画函数图象,通过图象的直观性帮助学生理解二次函数与一元二次方程 的密切联系. 例 1 (1)解一元一次方程 ;( 2)画一次函数 的图象,并指出函数 的图象与 x 轴有几个交点,交点的横坐标是什么? 解析:设计两个题目意在使学生体会一元一次方程的解,可以转化为画相应的一次函数的 图象,从其与 x 轴交点的横坐标得到.显然(1)中方程的解为 x=1,而(2)中一次函数图象 与 x 轴唯一交点的横坐标也是 1,体现两者的统一性. 例 2 已知二次函数 的值为 3,求自变量 x 的值? .得其两根 ;而解方程 解析:本题可以转化为解方程 就是已知二次函数 以通过画两个函数 解. 与 的值为 0,求自变量 x 的值.当然本题也可 的图象,通过其交点的横坐标得到方程的 二、抛物线与 x 轴的三种位置关系与一元二次方程的根的三种情况的对应关系 突*ㄒ椋1.教材思考栏中的三个二次函数,分别设计了抛物线与 x 轴有两个交点,一 个交点和没有交点的三种情况.那么其对应的方程的根的情况又如何呢?学生可以结合图象和 通过运算求方程的根,明确二次函数 的图象与 x 轴有三种位置关系:当 有两个不 时,该函数图象与 x 轴相交(有两个交点),对应的一元二次方程 1 等的实数根;当 程 时,该函数图象与 x 轴相切(有且仅有一个交点),对应的一元二次方 有两个相等的实数根;当 时,则该函数图象与 x 轴相离(没有交点), 对应的一元二次方程 没的实数根. 时,用几何画 2.突破这一难点,可以借助信息技术手段.例如,解方程 板软件画出相应抛物线 ,显示抛物线与 x 轴的公共点的坐标,就能得出相应 方程的根,如果对应的抛物线与 x 轴没有公共点,则说明一元二次方程没有实数根. 例 3 下列二次函数的图象与 x 轴有没有公共点?若有,求出公共点的横坐标;当 x 取公共 点的横坐标时,函数的值是多少? . 解析:(1)抛物线 与 x 轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1. 当 x 取 的根是-2,1(函数图象与 x 轴 与x轴 的根 3(函 公共点的横坐标时,函数值是 0.由此得出方程 有两个交点,对应的一元二次方程有两个不等的实数根);(2)抛物线 有一个公共点,它的横坐标是 3. 当 x=3 时,函数值是 0.由此得出方程 数 图 象 与 x 轴有一个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数根);( 3) 抛物 线 与 x 轴没有公共点.由此得出方程 有没有交点,对应的一元二次方程没有实数根). (三)利用二次函数的图象求一元二次方程的*似根 突*ㄒ椋阂辉畏匠谈募负我庖澹侵钙涠杂ε孜锵哂 x 轴的公共点的横坐标.因 而可以用画二次函数的图象的方法求相应的一元二次方程的解.通过画二次函数的图象,根据 其与 x 轴的公共点的横坐标,就可以得到一元二次方程根的*似值,为取得满足给定精确度的 *似值,可以通过不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根.教学中建议使用信息技术 手段,例如解方程 ,只要用几何画板画出相应抛物线 ,通过 没有实数根(函数图象与 x 轴 度 量 抛 物线 与 x 轴 的 公共 点 的 坐标 , 就能 得 出相 应 方 程的 根 .也 可 以把 一 元 二次 方 程 化为: 的形式,则方程的根,就是二次函数 和一次函数 2 的图象的交点的横坐标.通过对比两种解法,体会二次函数与一元二次方程的 本质联系. 例 4 利用函数图象求方程 的实数根(精确到 0.1) . 解析:首先画出函数 的图象(图 22.2-3).由图象可以看出它与 x 轴的公 的实数根为 共 点 的 横 坐 标 大 约 是 -0.7, 2.7. 所 以 可 得 方 程 .为取得满足给定精确度的*似值,可以通过不断缩小根所在的范围来估 计一元二次方程的根. 3



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