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福建省闽南四校2014届高三上学期第一次联合考试数学理试题Word版含答案

发布时间:

厦门禾山中学、石狮永宁中学、*擦侵醒А⒔⒘种醒Я峡际
2013-2014 年度上学期高三数学(理科)试卷

组卷:洪少波

审核:吴艺团

第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1.全集U ? {0,1, 2,3}, CU M ? {2},则集合 M ? ( ).

A.{1,3}

B.{0,1,3}

C.{0,3}

D.{2}

2.命题“ ?x2 ? 1, x ? 1 ” 的否定是( ).

A. ?x2 ? 1, x ? 1

B. ?x2 ? 1, x ? 1 C. ?x2 ? 1, x ? 1 D. ?x2 ? 1, x ? 1

3.已知复数 z 的共轭复数 z ? 1? 2i ( i 为虚数单位),则 z 在复*面内对应的点位于( ).

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.在等差数列{an}中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则{an}的前 5 项和 S5 =( ).

A.7

B.15

C.20

5.向量 a ? (1 , tan ? ) , b ? (cos? ,1) ,且 a ∥ b ,则 cos 2? ? (
3

A. ? 1 3

B. 1 3

C. 7 9

6. 命题 p : f (x) ? x 2 ? 2ax ? 1在 (1, ??) 上是增函数;

D.25 ).
D. ? 7 9

命题 q : f (x) ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 (0,??) 是减函数,则 p 是 q 的( ).
A.既不充分也不必要条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

7. 函数 y ? x cos x ? sin x 的图像大致为( ).

8.设 a ? 0, 若关于 x 的不等式 x ? a ? 4在x ? ?0,? ?? 恒成立,则 a 的最小值为( ).
x

A.4

B.2

C.16

D.1

9.满足 a,b ? ??1,0,1,2?,且使函数 f ?x? ? ax2 ? 2x ? b 有零点的有序数对的个数为( ).

A.10

B. 12

C. 13

D. 14

10.若函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 有两个极值点 x1, x2 ,且 f (x1) ? x1 ,则关于 x 的方程

3( f (x))2 ? 2af (x) ? b ? 0 的不同实根个数是( ).

A.3

B.4

C.5

D.6

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上.

? 11.计算: 2 (1 ? 1 )dx =

1

x

.

12.已知函数

f

(x)

?

??log1 x, x ?2 ??2 ? 4x , x

?1
,则
?1

f

(

f

( 1 )) 2

?

.

13.若数列{ an

}的前 n 项和为 Sn

?

2 3 an

?

1 3

,则数列{

an

}的通项公式是 an

=______.

14.函数 y ? tan?? ?x ? ? ???0 ? x ? 4? 的图像如图所示, A 为图像与
? 4 2?

x 轴的交点,过点 A 的直线 l 与函数的图像交于 C, B 两点,

?

?

?

则 (OB? OC) ? OA ? __________.

15.如 果对于任 意一个三角 形,只要 它的三边 长 a, b, c 都 在函数 f (x) 的 定义域内,则

f (a), f (b), f (c) 也是某个三角形的三边长,则称函数 f (x) 为“保三角形函数”.现有下列

五个函数:① f (x) ? 2x ;② f (x) ? ex ;③ f (x) ? x2 ;④ f (x) ? x ;⑤ f (x) ? sin x .

则其中是 “保三角形函数”的有

(写出所有正确的序号).

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤.

16.(本小题满分 13 分)

? ? ?
设向量 a ?

3

sin

x,

sin

x

,

?
b

?

?cos

x,

sin

x?.

.

(I)若 x ?[0, ?

]且

?
a

?

?
b

,求 x 的值;

2

(II)设函数

f

?x?

?

??
a? b

,求

f

?x? 的最大值与最小值.

17.(本小题满分 13 分)
已知等比数列?an? 满足: a1a2a3 ? 125 , a2 ? a3 ? 10 .

(I)求数列?an? 的通项公式;

(II)是否存在正整数 m ,使得 1 ? 1 ? a1 a2
在,说明理由.

? 1 ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存 am

18.(本小题满分 13 分)
甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1 ? x ? 10 ),每小时可获得
利润是100(5x ?1? 3) 元. x
(I)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围;
(II)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求
最大利润.

19.(本小题满分 13 分)如图,在 ?ABC 中,?ABC ? 90? , AB ? 3, BC ? 1,P 为 ?ABC 内 一点, ?BPC ? 90? .
(I)若 PB ? 1 ,求 PA ; 2
(II)若 ?APB ? 150? ,求 tan ?PBA .
20.(本小题满分 14 分)已知 f ?x? ? e x ? ax(e ? 2.718?) . (I)讨论函数 f ?x? 的单调区间;

(II)若函数 f ?x? 在区间 ?0,2? 上有两个零点,求 a 的取值范围;

(Ⅲ) A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ?是 f ?x? 的图象上任意两点,且 x1 ? x2 ,若总存在 x0 ? R ,

使得

f '(xo ) ?

y1 x1

? y2 ? x2

,

求证: x0

?

x1 .

21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答.如果多做,则按所做的 前两题记分.

(1)已知矩阵

A

?

????

1 a

?11???? ,若点 P?1,1? 在矩阵 A 的变换下得到点 P' ?0,?3? .

○1 求矩阵 A ;

○2 求矩阵 A 的特征值.

(2)已知直角坐标系

xoy

中,直线

l

的参数方程为

?x ?

?y

?t ?

? 3, (t为参数).
3t ,

以直角坐标系 xoy 中的

原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 .

○1 求直线 l 与圆 C 的直角坐标方程; ○2 判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

(3)若 a,b, c 为正实数且满足 a ? 2b ? 3c ? 6 .

○1 求 abc 的最大值;

○2 求 a ?1 ? 2b ?1 ? 3c ?1 的最大值.

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2013-2014 年度上学期高三数学(理科)试卷参考答案
一.选择题(每题 5 分).

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

答案 B

C

D

B

C

D

D

A

C

A

二 .填空题(每题 4 分).

11. 1 ? ln 2

12. -2; 13. an ? ?? ?2 n?1 ; 14. 8; 15. ①④.

三.解答题.

16.解:

2
由 a ? ( 3 sin x)2 ? (sin x)2 ? 4 sin 2 x. -------------------------1 分

2
b ? (cos x)2 ? (sin x)2 ? 1. ----------------------------------2 分

及 a ? b ,得 4 sin 2 x ? 1 .

? 又 x ?[0, ? ] , sin x ? 1 .-----------------------------------5 分

2

2

?x??
6

-----------------------------------------------6 分

(2) f (x) ? a ? b ? 3 sin x ? cos x ? sin 2 x

? 3 sin 2x ? 1 cos 2x ? 1 ? sin(2x ? ? ) ? 1 .-----------------11 分

2

2

2

62

?sin(2x ? ? ) ?[?1,1] , 6

?当sin(2x ? ? ) ? 1时,f (x)有最大值 3 . ----------------------13 分

6

2

17.解:(I)由已知条件得: a1a2a3 ? a23 ? 125 ,? a2 ? 5 .-----------------1 分
又 a2 ? a3 ? a2 ? a2q ? a2 1 ? q ? 10 ,? q ? ?1或q ? 3 .--------3 分

当q

?

?1时,a1

?

a2 q

?

?5 ,此时 an

?

(?5) ? (?1)n?1

? 5 ? (?1)n .---5 分

当 q ? 3时,a1

?

a2 q

?

5 3

,此时

an

?

5 ? (3)n?1 3

? 5 ? 3n?2 .------------7 分(II)

若 q ? ?1, 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 或0 ,不存在这样的正整数 m ;-------10 分

a1 a2

am 5

若q ?3, 1 ? 1 ? a1 a2

?

1 am

?

9 10

? ?1 ??

?

? ??

1 3

m
? ??

? ? ??

?

9 10

,不存在这样的正整数 m .13 分

18. 解:(1) 根据题意, 200(5x ?1? 3) ? 3000 ? 5x ?14 ? 3 ? 0 .---------------3 分

x

x

又1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 . ------------------------------5 分

(2)设利润为 y 元,则 y ? 900 ?100(5x ?1? 3) ? 9?104[?3( 1 ? 1)2 ? 61] .-------11 分

x

x

x 6 12

故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.--------------------------------13 分 19.解(Ⅰ)由已知得, ?PBC ? 60? ,∴ ?PBA ? 30? .---------------------3 分

在 ?PBA 中, PA2 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 cos30? ? 7 ,? PA ? 7 .----------6 分

4

2

4

2

(Ⅱ)设 ?PBA ? ? ,由已知得, PB ? sin? ,在 ?PBA 中,

由正弦定理得, 3 sin150o

?

sin ? sin(30o ? ? ) .------------------------------10 分

化简得, 3 cos? ? 4sin ? ,

∴ tan ? = 3 ,∴ tan ?PBA = 3 . -------------------------------------13 分

4

4

20.解:(1) f '(x) ? e x ? a ,令 f '(x) ? e x ? a ? 0 . --------------------------1 分

○1 当 a ? 0 时, f '(x) ? e x ? a ? 0在x ? R 上恒成立,所以 f (x)在R 上单调递增.-3 分

○2 当 a ? 0 时, f '(x) ? e x ? a ? 0 ? e x ? a ? x ? ln a .

所以,此时 f (x)在?? ?, ln a?上单调递减;在(ln a,??)上单调递增.--------5 分

?

? f (0) ? 0

?1 ? 0

(2)由(1)

a

?

0

不可能,依题意

? ?

f

(ln

a)

?

0

? ? ?eln a ? a ln a ? 0 ? ln a ? 1.

?? f (2) ? 0

? ?e 2

?

2a

?

0

?

a

?

e2

?

2

所以 e ? a ? e2 .--------------------------------------8 分 2

(3)证明:

f '(x0 ) ?

y1 x1

? y2 ? x2

? e x0

?a

?

ex 1

? ax1 ? (e x2 x1 ? x2

? ax2 )

? e x0

?a ?

e x1

? e x2 ? a(x1 ? x2 ) x1 ? x2

? e x0 ? e x1 ? e x2 . ---------------------------------------10 分 x1 ? x2

等式两边同除以 e x1 得 e x0

1 ? e x2 ?x1 ?

.

--------------------------------12 分

e x1

x1 ? x2

设t

?

x2

?

x1

,则 t

?

0

,构造函数

g (t )

?

1? ?

et t

? et ?1 . t

下证: t ? 0时,g?t? ? 1.

因为g?t? ?1 ? et ? t ?1,令h?t? ? et ? t ?1?t ? 0?.
t
h, ?t ? ? et ?1 ? e0 ?1 ? 0.
所以h?t?在?0,? ??上是增函数,h?t?min ? h?0? ? 0. h?t? ? 0在?0,? ??恒成立.
所以g?t? ?1 ? 0即g?t? ? 1在?0,? ??恒成立. .

所以 e x0 e x1

? 1, ------------------------------------------------------------------------------------- --14 分

所以x0 ? x1.

21.解:(1)

○1 由 ????1a

? 1

1????

????11????

=

????

0 ?

3????



a

?1

?

?3

?

a

?

?4



?矩阵 A ? ????1? 4

? 1

1 ????

.-----------------------------------------------3 分

由○1 知 A= ????1? 4

? 1

1????

.

? ?1 1 则矩阵 A 的特征多项式为 f (?) ?

? ?2 ? 2? ? 3 .

4 ? ?1

令 f (?) ? 0 ,得矩阵 A 的特征值为-1 或 3.---------------------------------7 分

(2)○1 由 x ? t ? 3 可得 t ? x ? 3 ,代入 y ? 3t .

? y ? 3(x ? 3) 即 直线l的方程为 3x ? y ? 3 3 ? 0 .-------------------------------------2 分



?x

? ?

y

? ?

? cos? ? sin?

可得圆 C

的方程为

x2

?

y2

?

4x

?3

?

0 ,即 (x

?

2) 2

?

y2

? 1.-----4



○2 由○1 可知圆 C 的圆心为 (2,0) ,半径 r ? 1 .

?圆心到直线 l 的距离 d ? 3 ? 2 ? 0 ? 3 3 ? 5 3 . ( 3)2 ? (?1)2 2
?d ?r. ?直线 l 与圆 C 的位置关系为相离. -----------------------------------------------------------------7 分

(3)○1 6 ? a ? 2b ? 3c ? 33 a ? 2b ?3c ?abc ? 4
3.

当且仅当 a ? 2b ? 3c 即 a ? 2,b ? 1, c ? 2 时等号成立。所以 abc 的最大值为 4 .-3 分

3

3

○2 由柯西不等式, a ?1 ? 2b ?1 ? 3c ?1 ? (a ?1? 2b ?1? 3c ?1)(1?1?1) ? 3 3

当且仅当 a ?1 ? 2b ?1 ? 3c ?1即 a ? 2,b ? 1, c ? 2 时等号成立. 3
所以 a ?1 ? 2b ?1 ? 3c ?1 的最大值为 3 3 . -----------------------------7 分




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